Was macht eine Funktion aus?
Sechs Bausteine, ein roter Faden: Von der Menge, aus der man einsetzen darf, bis zu der Frage, was passiert, wenn man einen Graphen verschiebt. Alles wird an ganzrationalen Funktionen erarbeitet — genau so, wie es das hessische Kerncurriculum für die Einführungsphase vorsieht.
Fünf Schritte — immer gleich
Wichtig: Die Schieberegler sind zu Beginn gesperrt. Erst wenn ihr eine Vorhersage abgegeben habt, könnt ihr sie bewegen. Das ist Absicht — wer vorher rät, lernt beim Beobachten deutlich mehr.
Das lernt ihr hier
- Definitionsmenge und Wertemenge angeben
- Wertetabelle und grafische Darstellung sicher verbinden
- Funktionsterm, Funktionsgleichung und Funktion unterscheiden
- Symmetrie von Funktionsgraphen erkennen und begründen
- Verhalten für betragsgroße Argumente — mit Limes-Schreibweise
- Verschiebung und Streckung in x- und y-Richtung erkennen
Die Farben bleiben immer gleich
Damit ihr euch nicht neu orientieren müsst, hat jeder Parameter in der ganzen Anwendung dieselbe Farbe — im Regler, im Term und im Graphen.
| Parameter | Wirkung |
|---|---|
| a | Streckung in y-Richtung |
| b | Streckung in x-Richtung |
| d | Verschiebung in x-Richtung |
| e | Verschiebung in y-Richtung |
Zusammengesetzt: g(x) = a·f(b·(x − d)) + e
Sozialform
Die Anwendung ist als Partnerwerkzeug gedacht: ein Gerät, zwei Personen, eine Maus. Die Forschung zu digitalen Mathematikwerkzeugen zeigt deutlich höhere Effekte bei Partnerarbeit als bei Einzelarbeit. Die Sprechanlässe (Kennzeichnung K6 Kommunizieren) sind fester Bestandteil, keine Zugabe.
1 · Definitionsmenge und Wertemenge
In eine ganzrationale Funktion darf man jede reelle Zahl einsetzen. Kommt auch jede reelle Zahl heraus?
Denkt kurz allein nach (Ich), tauscht euch dann zu zweit aus (Du). Notiert eine Vermutung — erst danach wird gerechnet.
Welche Werte kann f(x) = x² − 3 annehmen?
🔒 Der Regler entriegelt sich, sobald ihr euch entschieden habt.
| Definitionsmenge D | ℝ |
|---|---|
| Wertemenge W | — |
| aktuell zugeordnet | f(0) = −3 |
- Bei jeder ganzrationalen Funktion gilt D = ℝ — es gibt keine Nenner und keine Wurzeln, also keine verbotenen Stellen.
- Grad ungerade ⟹ W = ℝ. Der Graph läuft auf der einen Seite nach oben, auf der anderen nach unten.
- Grad gerade ⟹ W ist nach unten oder oben beschränkt: W = [Minimum; ∞[ bzw. ]−∞; Maximum].
- Schreibweise: D = ℝ, W = [−3; ∞[ — die Klammer öffnet sich nach außen, wenn der Rand nicht dazugehört.
A1 · Gib die Wertemenge von f(x) = −x⁴ + 2 an.
Tipp 1 — metakognitiv
Was ist gegeben, was gesucht? Welchen Grad hat die Funktion, und was bewirkt das Minuszeichen vor x⁴?
Tipp 2 — Teilschritt
x⁴ ist nie negativ, also ist x⁴ ≥ 0. Was folgt daraus für −x⁴? Und was für −x⁴ + 2?
A2 · Gib eine ganzrationale Funktion an, deren Wertemenge W = [−4; ∞[ ist. Es gibt viele Lösungen.
Tipp 1
Welcher Grad kommt überhaupt infrage, wenn die Wertemenge nach unten beschränkt ist, nach oben aber nicht?
Tipp 2
Startet bei x². Dessen kleinster Wert ist 0. Wie verschiebt ihr diesen kleinsten Wert auf −4?
Tipp 3
x² hat das Minimum 0 — zieht 4 ab. Ein anderer Weg wäre 3x⁴ − 4 oder (x−1)² − 4.
A3 · Lina behauptet: „Wenn der Grad gerade ist, hat die Funktion immer ein Minimum." Begründet zu zweit, ob das stimmt, und findet gegebenenfalls ein Gegenbeispiel.
Auflösen (erst nach der Diskussion!)
Die Aussage stimmt nur zur Hälfte: Bei geradem Grad ist die Wertemenge zwar beschränkt — aber je nach Vorzeichen des Leitkoeffizienten nach unten (Minimum, z. B. x²) oder nach oben (Maximum, z. B. −x⁴). Lina hat den Fall an < 0 vergessen.
2 · Wertetabelle, Graph und die Falle des Verbindens
Reichen drei Punkte, um einen Graphen zu zeichnen?
Füllt die Wertetabelle für f(x) = x³ − 3x aus. Richtige Werte erscheinen sofort als Punkte im Koordinatensystem.
Was passiert zwischen x = −1 und x = 1?
Drei Personen deuten dasselbe Weg-Zeit-Diagramm einer Radtour
Der Graph zeigt die zurückgelegte Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t. Ab der Mitte wird der Graph flacher. Wählt aus und begründet.
- Eine Wertetabelle ist eine Stichprobe, kein Beweis. Zwischen zwei Tabellenwerten kann der Graph alles Mögliche tun.
- Je höher der Grad, desto mehr „Kurven" sind möglich: Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen und höchstens n−1 Extremstellen.
- Ein Graph ist kein Bild der Wirklichkeit. Die y-Achse zeigt, was oben an ihr steht — nicht die Höhe eines Berges.
- Kovariation beschreiben: „Wenn x von −1 auf 1 wächst, dann fällt f(x) von 2 auf −2."
A1 · Prüft rechnerisch: Liegt der Punkt P(2 | 2) auf dem Graphen von f(x) = x³ − 3x?
A2 · Gib eine ganzrationale Funktion an, die durch die Punkte (0 | 0) und (2 | 0) verläuft und nicht die Nullfunktion ist.
Tipp 1
Wenn eine Funktion bei x = 0 und x = 2 den Wert 0 hat — welche Faktoren muss der Term dann enthalten?
Tipp 2
Multipliziert x · (x − 2) aus. Auch x·(x−2)·(x−5) oder 3x² − 6x funktionieren.
A3 · Beschreibt einander in Worten, wie sich f(x) = x³ − 3x verhält, wenn x von −3 auf 3 wächst. Benutzt dabei mindestens dreimal die Formulierung „wenn … , dann …".
3 · Funktionsterm, Funktionsgleichung, Funktion
Drei Schreibweisen, drei verschiedene Dinge — worin liegt der Unterschied?
Dieses Modul braucht keinen Regler. Es braucht Genauigkeit. Ordnet die folgenden Ausdrücke zu und begründet eure Entscheidung jeweils in einem Satz.
| Funktionsterm | x³ − 2x |
|---|---|
| Funktionsgleichung | f(x) = x³ − 2x bzw. y = x³ − 2x |
| Funktion | f: ℝ → ℝ, x ↦ x³ − 2x |
- Der Term ist nur ein Rechenausdruck — er sagt nichts darüber, was womit verglichen wird.
- Die Funktionsgleichung gibt dem Term einen Namen und ordnet ihm den Funktionswert zu.
- Die Funktion ist die vollständige Angabe mit Definitions- und Zielmenge.
- Achtung: x³ − 2x = 0 ist zwar eine Gleichung, aber keine Funktionsgleichung — hier wird nach x gesucht.
A1 · Welche Zeile ist keine Funktionsgleichung?
A2 · Fehlersuche: In einem Heft steht f = x² + 3x. Prüft, was daran ungenau ist.
A3 · Erläutert einander, warum man sagen kann „die Funktion f", aber besser nicht „die Funktion x³ − 2x". Eine Person erklärt, die andere fragt nach, bis die Erklärung wirklich trägt.
4 · Symmetrie von Funktionsgraphen
Man sieht einem Term an, ob sein Graph symmetrisch ist. Woran?
Schaltet einzelne Summanden an und aus. Der blasse Graph zeigt jeweils f(−x) — die an der y-Achse gespiegelte Funktion.
f(x) = x⁴ − 3x² + 1. Welche Symmetrie hat der Graph?
🔒 Nach eurer Entscheidung könnt ihr die Bausteine schalten.
Summanden an-/abschalten:
| f(x) | — |
|---|---|
| f(−x) | — |
| Ergebnis | — |
- Kommen im Term nur gerade Exponenten vor (auch x⁰, also das absolute Glied), gilt f(−x) = f(x) — der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Man nennt f dann eine gerade Funktion.
- Kommen nur ungerade Exponenten vor (kein absolutes Glied!), gilt f(−x) = −f(x) — der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. f heißt ungerade.
- Sind gerade und ungerade Exponenten vertreten, liegt keine dieser beiden Symmetrien vor. Achtung: Das heißt nicht, dass gar keine Symmetrie existiert — sie kann zu einer anderen Achse oder einem anderen Punkt bestehen (siehe Modul 7).
- Nachweis im Heft immer über die Rechnung f(−x), nicht über den bloßen Blick auf den Graphen.
A1 · Welcher Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung?
A2 · Gib eine Funktion 4. Grades an, die nicht achsensymmetrisch zur y-Achse ist — obwohl ihr Grad gerade ist.
Tipp 1
Der Grad sagt nur etwas über den höchsten Exponenten aus. Was ist mit den übrigen Summanden?
Tipp 2
Fügt zu x⁴ einen Summanden mit ungeradem Exponenten hinzu, etwa x oder x³.
A3 · Gib eine ungerade Funktion mindestens 5. Grades an, deren Graph durch den Punkt (1 | 3) verläuft.
Tipp 1
„Ungerade" heißt: ausschließlich ungerade Exponenten, also kein x⁴, kein x², keine Konstante.
Tipp 2
Setzt in euren Term x = 1 ein. Die Summe aller Koeffizienten muss 3 ergeben — z. B. x⁵ + 2x oder 3x⁵.
A4 · Which One Doesn't Belong? Vier Funktionen — jede fällt aus einem anderen Grund aus der Reihe. Beurteilt in Partnerarbeit für jede der vier, warum sie die Ausnahme sein könnte.
Mögliche Argumente (erst nach der Diskussion)
A ist die einzige mit Grad 3 und Leitkoeffizient 1 und Punktsymmetrie. B ist die einzige achsensymmetrische / mit geradem Grad. C ist die einzige ohne Symmetrie (absolutes Glied!) und die einzige, die nicht durch den Ursprung geht. D ist die einzige mit Leitkoeffizient ≠ 1 und die einzige vom Grad 5. Wichtig ist nicht „die" Lösung, sondern das explizit gemachte Kriterium.
5 · Verhalten für betragsgroße Argumente
Was passiert mit f(x) = x³ − 30x, wenn man immer weiter herauszoomt?
Im kleinen Ausschnitt sieht der Graph wild aus. Zoomt heraus — und beobachtet, womit er sich zunehmend deckt.
Wie sieht f(x) = x³ − 30x aus, wenn der Ausschnitt sehr groß ist?
🔒 Der Zoom-Regler entriegelt sich nach eurer Vorhersage.
| Grad / Leitkoeffizient | — |
|---|---|
| Abweichung f vom Leitterm am Rand | — |
Die Abweichung ist der relative Unterschied zwischen f(x) und dem Leitterm am rechten Rand des Ausschnitts.
Für betragsgroße x dominiert der Leitterm anxn. Alle anderen Summanden fallen relativ dazu nicht mehr ins Gewicht. Damit hängt das Randverhalten nur von zwei Dingen ab: dem Grad n und dem Vorzeichen von an.
Sprech- und Schreibweise: limx→+∞ f(x) = +∞ liest man „der Grenzwert von f(x) für x gegen plus unendlich ist plus unendlich" — gemeint ist: f(x) wächst über alle Grenzen. ∞ ist dabei keine Zahl, sondern eine Kurzschreibweise für dieses Verhalten.
A1 · Gib das Verhalten von f(x) = −2x⁴ + 7x³ − 5 für betragsgroße Argumente an.
Tipp 1
Welcher Summand hat den höchsten Exponenten? Nur er entscheidet.
Tipp 2
Leitterm ist −2x⁴. Grad 4 ist gerade, also verhalten sich beide Seiten gleich. Das Vorzeichen ist negativ.
A2 · Gib eine ganzrationale Funktion an mit limx→−∞ f(x) = +∞ und limx→+∞ f(x) = −∞.
Tipp 1
Beide Seiten verhalten sich entgegengesetzt. Was folgt daraus für den Grad?
Tipp 2
Ungerader Grad — und weil es rechts nach unten geht, muss der Leitkoeffizient negativ sein.
A3 · Begründet: Jede ganzrationale Funktion ungeraden Grades besitzt mindestens eine Nullstelle. Warum gilt das für Funktionen geraden Grades nicht?
Tipp 1 — metakognitiv
Was wisst ihr über die beiden Enden des Graphen bei ungeradem Grad? Und was bedeutet es, dass ein Graph „nicht springt"?
Tipp 2 — Teilschritt
Bei ungeradem Grad läuft der Graph auf einer Seite nach +∞, auf der anderen nach −∞. Er nimmt also sowohl positive als auch negative Werte an.
Tipp 3 — Teillösung
Weil der Graph ohne Sprünge von einem negativen zu einem positiven Wert läuft, muss er die x-Achse mindestens einmal schneiden (Zwischenwertsatz, in der E-Phase anschaulich). Bei geradem Grad kann der Graph vollständig oberhalb der x-Achse verlaufen: f(x) = x² + 1 hat keine Nullstelle.
6 · Verschieben und Strecken
Vier Wirkungen — aber immer nur eine auf einmal
Dieses Modul ist bewusst in vier getrennte Schritte zerlegt. Wer alle Parameter gleichzeitig verstellt, sieht am Ende viel und versteht wenig. Arbeitet die Schritte der Reihe nach durch — jeder hat seine eigene Vorhersage.
…
🔒 Erst vorhersagen, dann schieben.
g(x) = …
| Term | Wirkung auf den Graphen | bleibt fest |
|---|---|---|
| f(x) + e | Verschiebung um e nach oben (e < 0: nach unten) | nichts |
| f(x − d) | Verschiebung um d nach rechts (d < 0: nach links) — Vorzeichenfalle! | nichts |
| a·f(x) | Streckung in y-Richtung mit Faktor a; a < 0 spiegelt zusätzlich an der x-Achse | die Nullstellen |
| f(b·x) | Streckung in x-Richtung mit Faktor 1/b: b > 1 staucht, 0 < b < 1 streckt; b < 0 spiegelt an der y-Achse | der y-Achsenabschnitt |
Alles zusammen: g(x) = a·f(b·(x − d)) + e. Beachtet die Klammer bei b: Erst wird verschoben, dann gestreckt — sonst stimmt die Reihenfolge nicht.
Die graue Zielkurve entstand aus f(x) = x³ − 3x durch Verschieben und Strecken. Schätzt zuerst die vier Parameter — erst danach dürft ihr schieben.
A1 · Der Graph von f(x) = x⁴ wird um 3 Einheiten nach rechts verschoben. Gib die neue Funktionsgleichung an.
A2 · Beschreibe, wie aus dem Graphen von f(x) = x³ der Graph von g(x) = −2·(x + 1)³ − 4 hervorgeht.
A3 · Gib eine ganzrationale Funktion an, deren Graph aus dem Graphen von x² hervorgeht und deren tiefster Punkt bei (2 | −1) liegt.
Tipp 1
Der tiefste Punkt von x² liegt bei (0 | 0). Wohin muss er wandern — und in welcher Reihenfolge notiert man das?
Tipp 2
2 nach rechts bedeutet f(x − 2), also (x − 2)². Anschließend 1 nach unten.
A4 · My Favourite No. Aus einer Klassenarbeit: „Der Graph von f(x) = x² wird 4 nach rechts verschoben, also gilt g(x) = x² + 4."
Sagt zuerst, was an dieser Überlegung richtig gedacht ist. Begründet anschließend, wo genau der Bruch liegt.
Auflösen (erst nach der Diskussion)
Richtig gedacht: „nach rechts" ist die positive x-Richtung, also gehört ein Plus zur Bewegung — das stimmt geometrisch. Der Bruch: Das „+4" wurde an den Funktionswert gehängt statt an das Argument; x² + 4 verschiebt nach oben. Probe: Der Scheitel soll bei (4 | 0) liegen, aber g(4) = 20. Mit g(x) = (x − 4)² gilt g(4) = 0. ✓
7 · Fordern & Fördern
Kein Pflichtprogramm, sondern eine Auslage. Jede Karte enthält drei Sätze Kontext und einen konkreten Auftrag. Wählt, was euch reizt — und erklärt es anschließend jemandem, der die Karte nicht gelesen hat.
Shamir's Secret Sharing — rekonstruiert das Geheimnis
Drei Personen haben je einen Punkt einer geheimen Parabel p(x) = c₂x² + c₁x + c₀ erhalten. Das Geheimnis ist der y-Achsenabschnitt c₀ = p(0). Mit allen drei Punkten ist die Parabel eindeutig bestimmt — mit zweien weiß man nichts.
Tipp 1 — metakognitiv
Gesucht ist p(0). Was ist gegeben? Wie viele Unbekannte hat p(x) = c₂x² + c₁x + c₀?
Tipp 2 — Teilschritt
Setzt jeden der drei Punkte in p(x) ein. Ihr erhaltet ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten.
Tipp 3 — eleganter Weg
Mit der Lagrange-Formel geht es direkt: c₀ = p(0) = Σ yᵢ · Πj≠i (0 − xⱼ)/(xᵢ − xⱼ). Man muss die Parabel gar nicht vollständig aufstellen.
Jede Funktion ist die Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion
Für jede auf einem symmetrischen Definitionsbereich definierte Funktion gilt:
f(x) = ½·(f(x) + f(−x)) + ½·(f(x) − f(−x)) — der erste Teil ist gerade, der zweite ungerade.
Auftrag: Beweist, dass diese Zerlegung eindeutig ist. Nehmt dazu an, es gäbe zwei Zerlegungen f = g₁ + u₁ = g₂ + u₂ mit geraden gᵢ und ungeraden uᵢ.
Tipp 1
Aus f = g + u folgt durch Einsetzen von −x: f(−x) = g(x) − u(x). Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte.
Tipp 2 — Beweisskizze
Addition der beiden Gleichungen liefert g(x) = ½(f(x)+f(−x)), Subtraktion u(x) = ½(f(x)−f(−x)). Beide sind also durch f bereits festgelegt — damit kann es keine zweite Zerlegung geben. ∎
8 · Arbeitsblätter
Sechs Arbeitsblätter im A4-Format, passend zu den Modulen 1 bis 6, jeweils mit Tippkarten am Blattrand und einer Selbsteinschätzung. Ein Klick öffnet die druckfertige Ansicht — von dort aus über den Druckdialog auch als PDF speicherbar.
Vorschlag für den Verlauf (5 Stunden)
| Stunde | Schwerpunkt | Sozialform |
|---|---|---|
| 1 | Modul 1 + 2 · Mengen, Wertetabelle, Graph-als-Bild-Konflikt | Ich–Du–Wir, Concept Cartoon im Plenum |
| 2 | Modul 3 + 4 · Begriffsschärfe, Symmetrie | Partnerarbeit am Gerät, WODB im Plenum |
| 3 | Modul 5 · Fernverhalten, Limes-Schreibweise | Peer Instruction: abstimmen → diskutieren → erneut abstimmen |
| 4 | Modul 6 Schritte 1–2 · Verschiebungen, Vorzeichenfalle | Partnerarbeit, „My Favourite No" im Plenum |
| 5 | Modul 6 Schritte 3–4 + Zielkurve, Sicherung, Modul 7 als Auslage | Mathe-Konferenz in Vierergruppen |
Hinweis zum Üben: Die Aufgaben der Arbeitsblätter sind bewusst verschränkt (interleaved) angeordnet, nicht nach Modulen geblockt — verschränktes Üben führt in kontrollierten Studien zu deutlich besserer Behaltensleistung, fühlt sich für die Lernenden aber zunächst anstrengender an. Das lohnt sich, kurz zu thematisieren.
9 · Die Klasse einladen
Legt die Datei auf euren Schulserver, ins Schulportal oder in Moodle und tragt die Adresse hier ein. Der QR-Code entsteht direkt im Browser — es werden keine Daten an einen externen Dienst gesendet.
Tipp für den Unterricht: Den Code an die Wand projizieren und zusätzlich als kleines Bild auf jedes Arbeitsblatt drucken. Wer kein Handy dabei hat, tippt die Adresse ab — deshalb sollte sie kurz sein.
Warum funktioniert ein QR-Code, auch wenn er verschmutzt ist?
Weil in ihm ein Reed-Solomon-Code steckt (1960). Die Daten werden als Koeffizienten eines Polynoms aufgefasst und an mehr Stellen ausgewertet, als zur Rekonstruktion nötig wären. Fehlen einige Werte, lässt sich das Polynom aus den übrigen zurückgewinnen — dieselbe Idee wie bei der Interpolation in Modul 7. Dieselbe Technik sicherte übrigens die Bilder der Voyager-Sonden.
Klick auf den Code öffnet die Beamer-Ansicht.
Schließen mit Klick oder Esc.